Matematik Yüksek Lisans Programı

İleri Cebir I

Seçimlik Dersler Topolojiden Konular I   
Yüksek Analiz I 
Konveks Analiz
Regüler Matris Transformasyonları I
Dizi Uzayları ve Toplanabilme I
Iraksal Serilere Giriş
Topolojik Gruplar I Matematiksel Fiziğin Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemleri

Zorunlu Dersler Seçmeli Ders
Seçmeli Ders

Topolojiden Konular IIKriptoloji II
Reel Analiz
Topolojik Vektör Uzaylarda Toplanabilme  Topolojik Vektör Uzayları II
Regüler Matris Transformasyonları II
Iraksak SerilerTopolojik Gruplar II
İnformasyon Teorisi ve Kodlama II
Matematiksel Fiziğin Özel Fonksiyonları
Varyasyon Hesabı
Türevlenemeyen Optimizasyon Karar Analiziİleri CebirEnvanter Teorisi
Bulgusal Metotlardan Seçme Başlıklar
İleri Projektif Geometri I

Kümeler Teorisi, Nümerik diziler ve seriler, türetilebilme, Riemann-Stieltjes integrali, fonksiyon dizileri ve serileri

Noktasal ve düzgün yakınsaklık, Berstein teoremleri, periyodik fonksiyonlar, Fourier serileri, genelleştirilmiş integrallerin noktasal ve düzgün yakınsaklığı, dizilerin ve serilerin sonsuz matrislerle dönüşümü

Küme teorisi, ordinal ve kardinal sayılar, topolojik uzaylar, bazlar, fonksiyonlar, yakınsaklık teorisi, ayrılma ve sayılabilme, kompaktlık ve parakompaktlık

Metrik ve metriklenebilir uzaylar, bağlantılı uzaylar, Peono uzayları, düzgün ve düzgünlenebilir uzaylar, fonksiyon uzayları.    
 

Tamsayıların temel özellikleri ve gösterimleri, Toplama-Çarpma-Kalanlı Bölme İşlemlerinin Bilgisayar zamanları, Polinom Zamanı, Genişletilmiş Euclid Algoritması ve bunun analizi, Asal Çarpanlara Ayrılış, Kongrüanslar ve Rezidü Sınıf Halkaları, Fermat Teoremi, Çin Kalan Teoremi, Euler Teoremi, Euler Fonksiyonu, Şifreleme Sistemleri, Simetrik ve Asimetrik Kripto Sistemler, Kripto Analiz, Basit Kripto Sistemler.

MAT 506 Kriptoloji II (3,0,0)       
Olasılık ve Mükemmel Gizlilik, Koşullu Olasılık, Vernam One-Time Pad, Rastgele Sayılar, DES, Asal Sayı Üretimi, Açık Anahtar Kripto Sistemleri (RSA, Diffie-Hellman Anahtar Alışverişi, ElGamal Sistemi), Çarpanlara Ayırma Metotları, Diskret Logaritma Problemi, Sayısal İmza Algoritmaları, Hash Fonksiyonları, Kimlik Doğrulama.

Kümeler, fonksiyonlar, reel ve kompleks sayılar, rel ve kompleks sayı dizileri, seriler, metrik uzaylar, kompakt uzaylar, vektör uzayları,süreklilik, düzgün süreklilik vr kompaktlık, kompleks değerli fonksiyonların integrali, kompleks değerli fonksiyonların türevi, fonksiyon dizileri ve serileri, diferensiyel denklemler ve üstel fonksiyon, trigonometrik fonksiyonlar ve logaritme, iki değişkenli fonksiyonlar, sonsuz türetilebilen bazı fonksiyonlar, sürekli periyodik fonksiyonlar, düzgün periyodik fonksiyonlar, öteleme, convulasyon ve yaklaşım, Weierstrass yaklaşım teoremleri periyodik dağılımlar, periyodik dağılımları oluşturma, dağılımların konvulasyonu, periyodik dağılımlar üzerinde işlemler.

Hilbert uzayları, dizilerin Hilbert uzayları, ortonormal bazlar, ortonormal dağılımlar,düzgün periyodik fonksiyonların Fourier serileri ve periyodik açılımlar,Fourier serileri, konvulasyonlar ve yaklaşım, ısı denklemi, dağılım çözümleri, kompleks diferensiyel, kompleks integrasyon, Cauchy integral formülü, holomorf fonksiyonlar, izole singüleriteler, rasyonel fonksiyonlar, Laurent açılımları, rezidüler, birim yuvarda holomorf fonksiyonlar, fonksiyonların Laplace dönüşümleri, dağılımların Laplaca dönüşümleri, diferensiyel denklemler.

Topolojik uzaylar, komşuluklar, Bazlar, altuzay topolojisi, çarpım ve bölüm uzayları, kompaktlık, Tychonof teoremi, Heine-Borel teoremi, ayrılma aksiyomları, Urysohn lemması ve Tietze genişleme teoremi, Stone-Cech kompaktlaştırması, Alexandroff bir nokta kompaktlaştırması, dizilerin ve ağların yakınsaklığı, bağlantılılık, metriklenebilirlik, tam metrik uzaylar, Baire teoremi    
                                                                                     

Sınırsız kümeler, Kümelerin Özellikleri,Limit noktaları, Reel eksende ölçü kavramı, Düzlemlerde ölçü kavramı; genel ölçü kavramı, Ölçülebilir Kümeler, Kümelerin Ölçüsü, Ölçülebilir Fonksiyonlar, Özellikleri, Fonksiyonlar dizisi ve Ölçümde Yakınsaklık, ölçüm uzay kavramı, ölçülebilen fonksiyonlar tanım ve özellikleri, Lebesgue, B.Levi,Fatou teoremleri; monoton, sınırlı varyasyon, mutlak sürekli fonksiyonlar, Sınırlı fonksiyonların Lebesgue İntegrali,

Metrik uzaylar, açık, kapalı küme komşuluk, yakınsaklık, Cauchy dizisi, tamlık, tamlık ispatları, metrik uzayların tamlanışı, vektör uzayları, normlu uzaylar, Banach uzayları, normlu uzay örnekleri, sonlu boyutlu normlu uzaylar ve alt uzayları, kompaktlık ve sonlu boyut, lineer operatörler, sınırlı ve sürekli lineer operatörler, lineer fonksiyoneller, sonlu boyutlu uzaylarda lineer operatörler ve fonksiyoneller, normlu uzaylar ve operatörler, dual uzaylar, iç çarpım uzayları, Hilbert uzayları, İç çarpım uzaylarının özellikleri, ortonormal kümeler ve diziler, ortonormal dizilere ve kümelerle ilgili diziler, tam ortonormal kümeler ve diziler, Legendre, Hermite ve Laguerre dizileri, Hilbert uzaylarında fonksiyonellerin temsili, Hilbert adjoint operatörü, Self-adjoint, birim ve normal operatörler, normlu ve Banach uzayları için temel teoremler, Yansımalı uzaylar, düzgün sınırlılık teoremi, kuvvetli ve zayıf yakınsaklık, fonksiyonellerin ve operatörlerin dizilerinin yakınsaklığı ve dizilerin toplanabilirliğine uygulanması, açık dönüşüm teoremi, kapalı lineer operatörler, kapalı grafik teoremi, Banach sabit nokta teoremi,

Baire teoremi, Dual dönüşümler,Hilbert uzayları, Lp(X,m),C(X) uzayları, lokal konveks vektör uzayları, lokal konveks uzayların dualliği, Düzgün Sınırlılık Teoremi, Açık Dönüşüm Teoremi, Kapalı Grafik Teoremi, Banach Sabit Nokta Teoremi Normlu Uzaylarda Lineer Operatörlerin Spektral Teorisi, Resolvent ve Spektrumun Özelikleri, Banach Cebirleri ve özelikleri, Normlu Uzaylarda Tanımlı Kompakt Lineer Operatörler,Sınırlı Self-adjoint Lineer Operatörlerin Spektral Teorisi, Pozitif Operatörler, İzdüşüm Operatörleri, Spektral Aile, Hilbert Uzayında Sınırsız Lineer Operatörlerin Spektral Teorisi.

MAT 513 Konveks Analiz (3,0,0)
Afin kümeler, konveks küme ve konikler, konveks kümeler üzerinde işlemler, konveks fonskiyonlar, fonksiyonel üzerinde işlemler, konveks kümeler için izafi iç noktası, konveks fonksiyonlar için kapanış, resesiv koni ve sınırsızlık, kapalılık kriterleri, konveks fonksiyonların sürekliliği, yöne göre türev ve subdiferansiyel, diferansiyel süreklilik ve monotonluk, konveks fonksiyonlu diferansiyellenebilme, Legendre dönüşümleri, konveks fonksiyonların minumumu, konveks fonksiyonların maksimumu.

Yarınormlar dizisi tarafından elde edilen topolojik vektör uzaylartopolojik vektör uzaylarda diziden-diziye ve seriden-diziye ve seriden-seriye dönüşümler, topolojik vektör uzaylarda Toeplitz teoremi

Simetrik kümeler, dengeli kümeler, konveks kümeler, mutlak konveks kümeler, Minkowski fonksiyonelleri, yarı-normlar dizisi tarafından doğurulan topoloji ile topolojik vektör uzay kavramı sınırlı kümeler, lokal konveks topolojik vektör uzaylar, , Frechet uzayları, topolojik vektör uzaylarda sürekli fonksiyonlar, lineer fonksiyonlar ve ilgili temel teoremler

MAT 516 Topolojik Vektör Uzayları II  (3,0,0)  

Metrikleşebilen Topolojik Vektör Uzaylar: Orijin Noktasının Komşulukları, Metrikleşebilen Topolojik Vektör Uzayın Alt Uzayı ve Bölüm Uzayı, Yarı-normlarla Tanımlanan Topolojiler, Bir Cümlenin Konveks Zarfı, Lokal Konveks Uzaylar: Lokal Konveks Topoloji, Frechet Uzaylar, Bornolojik Uzaylar, Dualite ve Zayıf Topoloji, Kutup Cümleler, Yarı-yansımalı Uzaylar, Yansımalı Uzaylar

Toplanabilme ve sonsuz matrisler, Cesaro ve Hölder matrisleri, Norlund matrisleri, Abel metodu, Tauber teoremleri

MAT 518 Regüler Matris Transformasyonları II (3,0,0) 
Hausdorff ve yarı-Hausdorff matrisleri, regülerlik teoremleri    
        

MAT 519 Dizi Uzayları ve Toplanabilme I (3,0,0) 
Konservatif ve Regüler Matrisler, Conull Matrisler ve Toplanabilme Teorem Türleri, Üçgen Matrislerin Toplanabilirlik Alanları ve Bunların Mükemmel Kısımları, FK Uzayları, Co-regüler ve Conull FK Uzayları, Yer Değiştirebilirlik ve Tutarlılık.       
   

Büyüklük Teoremleri, Dizi Uzayları ve Dualleri, Bazı İçermeler ve Dönüşümler, Yarı-Konservatif Uzaylar ve Matris Alanları, FK Uzaylarının Seçkin Alt uzayları ve Toplanabilme Alanlarının Seçkin Alt uzayları.
   

Toplanabilme teorisinin tarihi gelişimi. Cesaro, Abel ve Borel toplanabilme metotları. Toplanabilme teorisinin Tauber, içerme ve tutarlılık gibi bazı temel problemleri. Matris metotları ve klasik teori. Konservatif, zorlayıcı ve kuvvetli konservatif matris metotları. Karşılaştırma ve tutarlılık teoremleri. Üçgen matrislerin M-tipi özellikleri. Ortalama değer özelliği ve etkili konservatif matris metotları

Cesaro, Hölder, ağırlıklı ortalama, Riesz, Nörlund ve Hausdorff metotları gibi bazı özel toplanabilme metotları ve aralarındaki bağıntılar. Kuvvet serileri ile tanımlanmış toplanabilme metotları. Tauber teoremleri. Cesaro, Riesz ve kuvvet seri metotları için Tauber teoremleri. Abel ve Borel metotları için Hardy-Littlewood'un O -Tauberteoremleri.

Topolojik gruplarda komşuluklar, çarpım uzayları ve topolojik gruplar, ayrılma aksiyomları, alt gruplar ve bölüm grupları, homomorfizm, dizilerde yakınsaklık , süreklilik,  
        

Topolojik gruplarda düzgünlük, kapanışın özellikleri, topolojik grupların metriklenebilmesi, metriklenebilen tam topolojik gruplar, Birkhoff-Kakutani teoremi, yarı normlu gruplar, topolojik grupların normlanabilmesi, topolojik gruplarda dizden diziye dönüşümler, serilerin toplanabilirliği.

Grup Kodları: Temel özellikler, Matris Kodlama Teknikleri, Üreteç ve Eşitlik Kontrol Matrisleri. Polinom Kodları: Vektör Uzayı ve Polinom Halkaları, Polinom Kodları, Genel durumda üreteç ve kontrol matrisleri. Hamming Kodları, Sayıların ikili sistemde ifadeleri, Sonlu Cisimler ve BCH Kodları, Primitif Polinomlar, Lineer Kodlar, Bir Lineer Kodun Duali, Blok Kodları, Ağırlık ve Uzaklık.turbo kodlar, kodlama teorisinde ve kriptolojide diziler   
                   

Dairesel Kodlar, Kontrol Polinomu, Dairesel Kod olarak BCH ve Hamming Kodları, İkilisistem haricindeki Hamming Kodları, İdempotentler, Euclid Algoritması, Terslenebilen ve İndirgenemez Elemanlar, Sonlu Cisimlerin İnşaası, Sonlu Cisimlerin Yapısı, Polinomların Kökleri, Primitif Elemanlar, Sonlu Cisimler Üzerindeki Polinomlar.

Matematiksel fizik denklemleri için başlangıç-değer, sınır değer ve karma problemlerin konulması ve çözüm yöntemleri, temel çözümler, uygulamalar.

Ortogonal Polinomlar, Ortogonal Polinomların Genel Özellikleri, Açılım Teoremleri, Klasik Ortogonal Polinom Aileleri, Legendre Fonksiyonları, Geliştirilmiş Legendre Fonksiyonları, Bessel Fonksiyonları, Bessel Fonksiyonlarının Önemli Bazı Özellikleri.

Tensör kavramı, tensör cebri, paralel hareket, eğrilik ve burulma tensörleri, Riemann uzayında metrik tebsörler

Sonlu boyutlu uzaylarda ekstremum problemleri; şartsız ekstremum problemi, şartlı ekstremum problemi, eşitlik ve eşitsizlik tipli koşullar dahilinde fonksiyonun ekstremumu, konveks programlama problemi, lineer programlama problemi. Varyasyon hesabının elemanları, fonksiyonun varyasyonu, ekstremum için gerek koşullar, varyasyon hesabının basit problemi, Euler-Lagrange denklemi, Bolsa problemi, yüksek mertebeden türeve bağlı fonksiyoneller, izoperimetrik problem, uçları hareket eden problem, Wierschtrass-Eidman koşulu, sade varyasyon probleminin çözümü için yeter koşullar.

Basit süreçler için Pontryganinin Maksimum Prensibi, Terminal kontrol problemine ait örnekler, optimal en çabul etki problemi, fonksiyonelin artımının hesaplanması, maksimum prensibinin ispatı, Maksimum prensibinin bazı uygulamaları, Ekstremal kontroller için Hamiltoniyan, başlangıç durumda kontrol problemi, terminal kontrol probleminde maksimum prensibi, Minimax problemi, Bolsa problemi için maksimum prensibi, türeve göre çözülebilmeyen sistemler için kontrol problemleri, sistemin optimal korreksiyası, yörüngelerin optimal korreksiyası, türevlenebilmeyen sistemler için optimal kontrol problemi, süreksiz sistemler için optimal kontrol problemleri. Gursa-Darbu sistemleri ile optimal kontrol problemi, yardımcı kavramlar, optimallik birinci mertebeden gerek koşullar, Lagrange çarpanlarını toplananlara ayırma yöntemi, Lineer durumun araştırılması, optimallik için Krotov tipli yeter koşullar, optimal kontrol varlığı

Konveks analizin elemanları ve karışık sorular; konveks kümeler, konveks örtük, ayırma teoremi, noktasal küme dönüşümü, konveks koni, konveks fonksiyonlar, süreklilik ve yöne göre türev, konveks fonksiyonların subsgradienti ve subdiferansiyeli, kümeden koniye göre uzaklık, minimum koşulları, -subdiferansiyel, yöne göre -türev, konveks fonksiyonlar için bazı özellikler ve eşitsizlikler, şartlı - subdiferansiyel, yöne göre şartlı türev, şartlı - subdiferansiyel dönüşümün sürekliliği, eşitsizlikler yardımı ile konveks kümeler problemi, normal koni,konik dönüşümleri, supremum tipli fonksiyonların yöne göre diferansiyellenebilmesi, konveks fonksiyonların diferansiyellenebilmesi, eşlenik fonksiyonlar, bazı sınıf konveks fonksiyonların -subgradientinin hesaplanması. Kuazidiferansiyellenebilen fonksiyonlar, Kuazidiferansiyellenebilen fonksiyonların tanımı ve örnekler, Kuazidiferansiyellenebilen fonksiyonların özellikleri, Kuazidiferansiyel hesabının temel formülleri, Kuazidiferansiyel hesaplanmasına ait örnekler, konveks ve konkav fonksiyonların Kuazidiferansiyellenebilen olması, Rn uzayında Kuazidiferansiyellenebilen fonksiyonların optimalliği için gerek koşullar, Kuazidiferansiyellenebilen kümeler, Kuazidiferansiyellenebilen kümelerde Kuazidiferansiyellenebilen fonksiyonların optimalliği için gerek koşullar.

Jeodezik denklem, kovaryans, vektör alanları, Newton limiti, Taylor-McCulloch ikili yıdız sistemi, kozmoloji, homojen, izotropic kozmolojiler, Newman-Penrose yöntemi, Hubble sabiti, Schwarzschild çözümü, Kruskal genişletmesi, Einstein denklemi

Çok lineer dönüşümler, dual vektör uzayı, bir dönüşümün adjointi, iç çarpım uzayının duali, matris polinomları, kuadratik formlar, Hermit dönüşümleri ve Hermit matrisleri, kongruensler, ortogonal ve uniter dönüşümler,  uniter matrisler, polinom matrisler, invaryant altuzaylar, Hamilto-caylley Teoremi, Faaddeeev metodu.

Tensör uzayları, Bölüm uzaylarının tensör çarpımı,Direkt toplam uzaylarının tensör çarpımı, İkiden fazla vektör uzaylarının tensör çarpımı, Tensör cebiri, Lineer dönüşümlerin tensör çarpımı,Tensörel dönüşümler

İnterpolasyon, yaklaşımlar (splines); sayısal integral; diferansiyel denklemlerin sayısal çözümleri; integral denklemler;  lineer denklem sistemleri; özdeğer problemleri; kısmi diferansiyel denklemler.

Öklid geometrisi ve diğer geometriler, Afin düzlemler, Projektif düzlemler, Afin ve Projektif düzlemler arasındaki ilişkiler, alt düzlemler ve Pappus düzlemleri, bölümlü halka üzerinde Projektif düzlemler, Fano aksiyomu ve Fano düzlemleri

Sonlu boyutlu uzaylarda ekstremum problemleri; şartsız ekstremum problemi, şartlı ekstremum problemi, eşitlik ve eşitsizlik tipli koşullar dahilinde fonksiyonun ekstremumu, konveks programlama problemi, lineer programlama problemi. Varyasyon hesabının elemanları, fonksiyonun varyasyonu, ekstremum için gerek koşullar, varyasyon hesabının basit problemi, Euler-Lagrange denklemi, Bolsa problemi, yüksek mertebeden türeve bağlı fonksiyoneller, izoperimetrik problem, uçları hareket eden problem, Wierschtrass-Eidman koşulu, sade varyasyon probleminin çözümü için yeter koşullar.

Sınırsız optimizasyon:  klasik yöntemler (tek değerli fonksiyonlar, çok değerli fonksiyonlar, Newton yöntemi) , arama yöntemleri (tek değerli fonksiyonlar için arama), doğrudan arama yöntemleri(çok değerli fonksiyonlar için arama, gradyan yöntemler);  Sınırlı Optimizasyon: genel teori, arama yöntemleri.

Yüksek Lisans öğrencisi tarafından veya davetli konuşmacılar tarafından bir öğretim üyesi yönetiminde verilen seminerler

Yüksek Lisans öğrencisi tarafından veya davetli konuşmacılar tarafından bir öğretim üyesi yönetiminde verilen seminerler