Uygulamalı Matematik Yüksek Lisans Programı

ZORUNLU DERSLER

UYM 502-Seminer:
Yüksek lisans öğrencilerinin, ilgilendikleri alanlardaki yayınlar ve çalışmalarla ilgili yapacakları sunum ve tartışma

UYM 511-Cebir:
Kümeler ve ikili işlemler, gruplar, grupların başlangıç özellikleri, altgruplar ve devirli gruplar, permütasyonlar, Lagranj teoremi, denklik bağıntıları, izomorfizmalar, Öklit Algoritması ve doğrusal özelliği,direk çarpımlar, homomorphismalar ve normal altgruplar, gruplarda izomorfizma teoremleri, halkalar, althalkalar, idealler, halka homomorfizmaları, değişmeli bir halkada maksimal ideallerin bölümü, halkalarda izomorfizma teoremleri, çokterimli halkalar, vektör uzayları, tamlık bölgeleri, bölüm cisimleri, Öklit bölgeleri, (PID) esas tamlık bölgesi,(UFD)tek çarpanlama bölgesi.

UYM 521-Analiz:
Genel Ölçü ve İntegrasyon kuramı,genel yakınsaklık kuramları,ölçülerin parçalanışı,dış ölçü, Radon-nikotin kuramı,Caratheodory genişletme kuramı,çarpım ölçüleri, Fubini kuramı,Riesz gösteriliş kuramı 

UYM 531-Topoloji:
Normal uzaylar, Tychonoff uzayları, kompaktlaştırmalar, lokal kompakt bir uzayın kompakt bir uzayın içine gömülmesi (Alexandroff kompaktlaştırması), lokal kombakt sigma-kompakt uzaylar, parakompakt uzaylar, sayılabilir kompakt uzaylar, pseudo-kompakt uzaylar. Fonksiyonlar ailesi yardımı ile oluşturulan topolojiler, bölüm üzayları, açık denklik bağıntılar ve kapalı denklik bağıntılar, süzgeçler, fonksiyon uzayları, kompak-açık topoloji, Baire yzayları 

SEÇMELİ DERSLER 

UYM 505-Ters Problemler:
Hasta Görünümlü Problemler. Ayrıştırma Problemi. Fourier Uzayına Dönüştürme. Resimsel Örnekler. Lineer Dönüşümler. Lineer Ters Problemler. Lineer Dönüşümün Anatomisi. Genel Tekil Değer Ayrışımı. Lineer Dönüşümlerin Sınıflandırılması. Tekil Değer Ayrışımında  Gürültünün Etkisi. Sürekli Dönüşümler. Lineer İnverse Problemler için Düzenleyici Yöntemler. Tikhinow Düzenleyici Yöntemi. Bayes Parametre Kestirimi ve İstatistiksel Çıkarım. Bayes Teorisi. Parametre Kestirimi. Uygulamalar. 

UYM 513-İleri Lineer Cebir:
Vektör uzayları. Lineer dönüşümler. İç çarpım uzayları. Düal uzay. Hermityen, üniter ve normal dönüşümler. Özdeğer ve özvektörler. Tekil değerler. Matrislerin köşegenleştirilmesi ve üçgenleştirilmesi.

UYM 522-Kompleks Analiz:
Analitik fonksiyonlar. Cauchy-Riemann denklemleri. Konformal tasvir ve uygulamaları. Schwartz-Christoffel dönüşümleri. Taylor ve Laurent seri açılımları. Rezidü hesabı uygulamaları. Isı dağılım, potansiyel ve akışkanlar mekaniğinde uygulamalar.

UYM 523-Reel Analiz:
Ön bilgiler: Kümeler kuramı. R ve C'nin aksiyomları ve temel özellikleri. Analizin temel teoremleri. Temel topoloji ile kavramlar ve teoremler. Soyut İntegral: Ölçülebilirlik kavramı. Basit fonksiyonlar ve integralleri. Pozitif fonksiyonların integralleri. Kompleks fonksiyonların integralleri. Sıfır kümeleri ve rolleri. Pozitif Borel Ölçüleri: Riesz gösterim teoremi. Borel ölçülerinin düzenlilik özellikleri. Lebesgue ölçüleri. Ölçülebilir fonksiyonların süreklilik özellikleri.  Lp-Uzayları: Dış bükey fonksiyonlar ve eşitsizlikler. Lp  uzayları. Sürekli fonksiyonlarla yaklaşımlar. Hilbert Uzayları: İç çarpım uzayları ve doğrusal dönüşümler. Dik kümeler. Trigonometrik seriler. Banach Uzayları ve Uygulamaları: Banach uzayları. Baire kategori teoremi ve sonuçları. Sürekli fonksiyonların Fourier serileri. L1 -fonksiyonlarının Fourier katsayıları. Hahn-Banach teoremi. Poisson integrallerine soyut yaklaşım.

UYM 524-İntegral Denklemler ve Uygulamaları:
İntegral denklem türleri ve diferansiyel denklemlerle ilişkileri. Değişik kernelli denklem çözümleri. Fredholm teorisi. Birinci ve ikinci türden Volterra denklemleri. Uygulamalar.

UYM 525-Kompleks Analiz ve Uygulamaları:
Kompleks sayılar, kompleks sayıların geometrisi ve topolojisi, kompleks değişkenli fonksiyonlar, limit ve süreklilik, analitik fonksiyonlar, Cauchy-Riemann denklemleri, harmonik fonksiyonlar, kompleks diziler ve seriler, kuvvet serileri, elemanter fonksiyonlar, kompleks integrasyon, Cauchy-Goursat Teoremi, Morera teoremi, Cauchy İntegral Formülü ve Uygulamaları, Cauchy Türev Formülü.

UYM 526-İleri Reel Analiz:
Cümlenin Lebesguer ölçüsü. Ölçülebilir fonksiyonlar ve onlar hakkında temel terimler. Lebesgue anlamında İntegrallenebilir fonksiyonlar ve Lebesgue integralinin özellikleri

UYM 527-Uygulamalı Fonksiyon Analiz:
Distribüsyon teorisi. Normlu lineer uzaylar. Riesz-Schauder teorisi. Sabit nokta teoremleri. İntegral denklemlere ve kısmi diferansiyel denklemlere uygulamalar.

UYM 528-Harmonik Analiz ve Operatör Teorisi:
Lokal kompakt uzaylarda integral, uzayları, Haar integral, Konvolüsyon, Reprezentasyon, Karakter grup.

UYM 529-Sonlu Boyutlu Fonksiyonel Analiz:
Sonlu boyutlu uzaylar ve norm anlayışı, diziler, seriler ve yakınsaklık, vektör değerli fonksiyonlar, lineer formlar ve eşlenik uzaylar, sonlu boyutlu uzaylarda lineer operatörler ve onların tasviri, lineer operatörlerin cebri, izdüşüm operatörü, Nilpotent operatörleri, eşlenik operatörler, özdeğer vektörü ve invariyant alt uzaylar, re solvent kavramı, lineer operatörleri kanonik formu, operatörlerden fonksiyon, Öklid uzayları Öklid uzaylarda lineer operatörler, Lineer operatörlerin eşlenikleri, normal ve izdüşüm operatörleri, normal oparatörlerin kanonik formu, simetrik operatörler için minimax prensibi

UYM 531-Grup Teori ve Uygulamaları:
Genel lineer grup. Hacim ve alanı koruyan gruplar. Metriği koruyan gruplar. Klasik gruplar arasındaki ilişkiler. Topolojik gruplar. Lie grupları,. Lie  cebirleri ve kök uzayları. Dynkin diagramları. Grup teorinin kristalografiye, kuantum fiziğine ve kuantum bilgisayarlarına uygulamaları.

UYM 541-Sayısal Analiz:
Hata analizi. Serilerin sayısal hesaplarda kullanımı. En küçük kareler yöntemi. Ortogonal polinomlara dayanan yöntemler. Lineer cebirde sayısal metodlar. Lineer olmayan denklemlerin çözümü ve Newton-Raphson metodu. Sonlu farklar yöntemi. İnterpolasyon. Sayısal integrasyon ve sayısal türev alma teknikleri. Diferansiyel denklemler.

UYM 542-Uygulamalı Kısmi Diferansiyel Denklemler:
Kısmi diferansiyel denklem çözümlerinin özellikleri. Karakteristik çözüm yöntemi. Değişken ayrımı yöntemi. Özdeğer açılımı. Green fonksiyonları ve Fourier dönüşümü. Maksimum ve ortalama değer ilkeleri.

UYM 543-Uygulamalı Matematikte Özel Konular I:
Öğretim üyesinin uzmanlık alanına ve öğrencilerin eğilimlerine bağlı olarak seçilecek konular.

UYM 544-İleri Sayısal Analiz:
Diferansiyel denklem türleri. Çözümlerin varlığı ve tekliği. Bir, iki ve üç boyutta parabolik denklem çözümleri. Bir uzay boyutlu hiperbolik denklemler. Yakınsaklık ve kararlılık. İki boyutta eliptik denklemler.

UYM 545-Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümleri:
Eliptik Denklemler için Fark Denklemleri. Laplace Denklemi. Poisson Denklemi. Gauss Seidel Nokta İterasyonu. Son Nokta İterasyonu. Hiperbolik Denklemler için Fark Metodlar. Bir ve İki Boyutlu Dalga Denklemi. Karakteristikler Metodu. Parabolik Denklemler için Fark Metodları. Explicit Metod. Crank – Nicolson Metodu. İki veya Daha Üst Boyutlarda  Parabolik Denklemler.

UYM 546-Geniş Ölçekli Programlama:
Uygulamalı matematikte geniş ölçekli bilgisayar programla tasarımı ve yürütülmesi. Masif paralel süper bilgisayarlar için temel programlama teknikleri. 

UYM 547-İstatistikte Optimizasyon Teknikleri:
Optimizasyon Yöntemlerine Giriş, Direkt Arama Yöntemi, Gradyent Yöntemleri,Optimizasyon yöntemlerinin bazı istatistik problemlere uygulamaları:en çok benzerlik tahmini,Optimizasyon yöntemlerinin regresyon problemlerinde uygulamaları,Çok değişkenli analizde Optimizasyon Yöntemleri

UYM 548-Matematikte Asimptotik ve Pertürbatif Yöntemler:
Lineer ve nonlineer, adi ve kısmi diferansiyel denklerin asimptotik çözümleri. Asimptotik integral hesabı. Tekil pertürbasyon. Sınır tabaka teorisi Çoklu ölçek analizi. 

UYM 549-Lineer Olmayan Programlama :
Konveks Kümeler, Konveks Fonksiyonlar, Konveks Kümelerin Ayrılaması, Subgradient, Eşitlik ve Eşitsizlik Kısıtlamaları Olan Problemler:Optimallik Koşulları,Dual Problemler ve Dualite Teoremleri, Dual Problemlerin Çözülmesi 

UYM 552-Uygulamalı Geometriden Seçme Konular:
Endomorfizmler ve Dezarg özelliği, Homogen koordinatlar, Morfizmler ve yarı-lineer dönüşümler, Dualite, İlgili kategoriler, Kapalı altuzayların latticeleri, Ortogonalite. 

UYM 561-İleri Fonksiyonel Analiz:
Sonlu Boyutlu Uzaylar. Fonksiyon Uzayları. Sürekli Lineer Operatörler. Sonlu Boyutlu Uzaylarda Lineer Operatörler ve Fonksiyoneller. Hahn-Banach ve Açık Tasvir Teoremi. Kapalı Lineer Operatörler. Kapalı Grafik ve Baire Teoremlerinin Sonuçları. 

UYM 563-Operatör Teorisi:
Hilbert uzayları üzerinde tanımlı lineer operatörler. Bir Operatörün eşleniği. Normal, kendine-eş ve düzgün operatörler. Bir operatörün spektrumu. Pozitif operatörler ve projeksiyonlar. Kompakt operatörler. Kompakt operatörlerin spektral teorisi. Kendine-eş kompakt operatörler. Kompakt operatörlerin integral ve diferansiyel denklemlere uygulamaları. 

UYM 565-Varyasyon Hesap:
Tanım ve Kavramlar. Bir Fonksiyonelin Genel Varyasyonu. Euler Denklemlerinin Kanonik Formu. İkinci Varyasyon. Zayıf Ekstremum için Yeterli Koşullar. Alanlar. Kuvvetli Ekstremum için Yeterli Koşullar. Çok Katkı İntegrallerin Varyasyonel Problemleri. Varyasyonlar Hesabında Direkt Metodlar. 

UYM 571-Graf Teori:
Yönlü ve yönsüz graflar, altgraflar, bağlantılı-bağlantısız graflar, ağaçlar, bağlılık, enkısa yol, minimum yayılan ağaçlar, Eulor turları, Hamilton çevrimleri, planar graflar ve dualite, ark-düğüm boyama, maksimum akış. 

UYM 572-Uygulamalı Matematikte Özel Konular II:
Öğretim üyesinin uzmanlık alanına ve öğrencilerin eğilimlerine bağlı olarak seçilecek konular. 

UYM 574-Finansal Optimizasyon: 
Lineer Program, Gölge Fiyatlar,Varlık Fiyatlama ve Arbitraj,Volatilite Tahmini,portföy Optimizasyonu,Finansta Konik Optimizasyon Modelleri, Dinamik Programlama Yöntemleri,Finansta Robust Optimizasyon Modelleri 

UYM 575-Oyunlar Teorisi:
Oyun ve Karar Teorisine Giriş ,Optimizasyon Teorisinden Gerekli Bilgiler,Belirsizlik Durumunda Karar Verme, Optimal Portföy Seçimi,Oyun Teorisi: 2 oyunculu matrisoyunlarıStrateji Oyunlar, Nash Denge Çözümü, Karma Stratejilerde Nash Denge Çözümü,Ekonomi ve Finans Uygulamaları

UYM 578-Dinamatik Sistemler:
Diferensiyel denklem ve dinamik sistemler ile onların denge noktaları, faz uzayları ve kararlılık teorisi , Diferensiyel denklem sistemlerinin lokal ve global varlık - teklik teoremleri, denklem sistemlerinin çözümleri, denge nokta türleri ve onların kararlılık durumları. Diferensiyel denklem sistemlerinin ve fark denklemlerinin tam çözümlerinin bulunması, Lyapunov fonksiyonlarının oluşturulması ve dinamik sistemlerin kalitatif incelemesi

UYM 582-Kombinatonik Optimizasyon:
Binomial ve Polya sıralamaları, Üretken fonksiyonlar, Poset teori, Delta operatörleri, (simplicial) kompleksler ve kombinatorial özellikleri.

UYM 584-Spektral Teori:
Genel lineer topolojik uzaylarda Spektral Teorisi.Banach uzaylarında Spektral Teorisi.Hilbert uzaylarında Spektral Teorisi.Konkre operatörlerin spektrini inceleme. Operatörleri genişletme.

UYM 586-Optimal Kontrolden Seçme Konular:Optimal Kontrol Teorisinin tarihsel gelişimi ve güncel problemleri. Aerodinamik problem ( optimal ön kısım hakkında ). Sonlu boyutlu uzaylarda optimizasyon. Ekonomik problemlere uygulamalar. Yerel kısıtlara sahip olan problemler. Lagrange çarpanları metodu. Gerek ve yeter koşullar. Konveks programlama, Kun- Taker tipli teoremler. Ekonomide çok aşamalı optimal yatırım problemleri. Optimallik prensibi, onun Fermat ve Huygens prensipleriyle ilişkisi. Diskret sistemlerin optimal kontrolü, Dinamik programlama metodu, Rekürsif Bellman denklemleri. Sürekli prosesler, Amaç fonksiyonelleri. Zaman -optimal kontrol problemi. Sentez problemi, kapalı düzenleyiciler. Global kısıtlara sahip olan problemler; Penaltı metodu. Genelleşmiş Lagrange prensibi ve onun Hamilton prensibiyle ilişkisi. Aktif yapılar, onların sismik titreşim altında optimal kontrolü ve uygulamalar. Ani kontrol problemi; Kapalı ve açık - kapalı optimal çevrimler. Yaklaşık çözüm metodları