Matematik Mühendisliği Doktora Programı
Ders Listesi
Matematiksel Optimal Kontrol Teorisi I
Doku Geometrisi
Differential Topology
Topoloji
Ring Theory
Reel Analiz II
Partial Differential Equations II
Lie Groups and Lie Algebras
Harmonic Analysis I
Uzmanlık Alan Dersi
Harmonic Analysis II
Matematiksel Optimal Kontrol Teorisi II
Sayısal Analiz II
Differential Equations II
Algebraic Topology
Ring Theory
Algebra II
Differential Geometry II
Operatörler Teorisi
Number Theory
Introduction to the Lie Group Analysis of Differential Equations
Uzmanlık Alan Dersi
Ders İçerikleri
Matematiksel Optimal Kontrol Teorisi I
Optimal Kontrol Teorisinin tarihsel gelişimi ve güncel problemleri. Aerodinamik problem ( optimal ön kısım hakkında ). Sonlu boyutlu uzaylarda optimizasyon. Ekonomik problemlere uygulamalar. Yerel kısıtlara sahip olan problemler. Lagrange çarpanları metodu. Gerek ve yeter koşullar. Konveks programlama, Kun- Taker tipli teoremler. Ekonomide çok aşamalı optimal yatırım problemleri. Optimallik prensibi, onun Fermat ve Huygens prensipleriyle ilişkisi. Diskret sistemlerin optimal kontrolü, Dinamik programlama metodu, Rekürsif Bellman denklemleri. Sürekli prosesler, Amaç fonksiyonelleri. Zaman -optimal kontrol problemi. Sentez problemi, kapalı düzenleyiciler. Global kısıtlara sahip olan problemler; Penaltı metodu. Genelleşmiş Lagrange prensibi ve onun Hamilton prensibiyle ilişkisi. Aktif yapılar, onların sismik titreşim altında optimal kontrolü ve uygulamalar. Ani kontrol problemi; Kapalı ve açık – kapalı optimal çevrimler. Yaklaşık çözüm metodları.
Doku Geometrisi
Düzlemde eğrilerin üçlü dokusu, altıgen dokular. Pfaff formları ve dokunun diferansiyatörü. Dokunun eğriliği. Yüzey dokular: octahedral dokular, altıgen yüzey dokuları. Kuazi-grup ve dokular.
Differential Topology (Diferansiyel Topoloji)
Türevlenebilir manifoldlar ve dönüşümler, Sard teoremi, transversalite, kesişim ve kobordizm; Yönlendirilmiş kesişimler, kesişim sayıları, dönüşümlerin dereceleri, Hopf derece teoremi, Euler karakteristiği; Vektör demetleri, sınıflandırılmaları, tübüler komşuluklar; dış formlar, kohomoloji, karakteristik sınıflar; Morse teorisinin temel kavramları.
Topoloji
Topoloji ve topolojik uzay kavramı, komşuluk, sayılabilirlik aksiyomları, çarpım topolojisi, metrik topolojisi. Topolojik uzaylarda süreklilik. Bağlantılılık, yol bağlantılılık, kompaktlık, metrik uzaylarda kompaktlık, yakınsaklık kavramı, şebeke ve süzgeçler. Ayırma aksiyomları. T_0, T_1, Hausdorff, regüler ve normal topolojik uzaylar. Uryshon Lemması. Surekli fonksiyonların genişlemesi, Tietze teoremi, birimin parçalanması.. Tychonoff teoremi. Metriklenebilir topolojik uzaylar. Çarpım ve box topolojileri. Urysohn ve Nagata- Smirnov metriklenme teoremleri. Homotopi kavramı, temel grup örtü uzayları, yüzeylerin temel grup hesabına uygulamaları.
Ring Theory (Halka Teorisi)
Halkalar ve idealler, Sıfır ve Jacobson radikalleri, Modüller, Modüllerin tensor çarpımları, Tam diziler, Lokalizasyon, Integral bağımlılık, Noether ve Artin Halkaları, Dedekind tamlık bölgeleri, Modüllerin tamlanması.
Reel Analiz II (Reel Analiz II)
Genel Lebesgue Ölçüsü ve Lebesgue integralı. Dirac, Caratheodory , Hausdorff ölçüleri ve bu ölçülere gore integraller. İşaretli ölçüler. Singüler ve mutlak sürekli ölçüler. Hahn ve Jordan açılımı. Radon ve Nikodym teoremi. Riesz temsiletme teoremleri.
Partial Differential Equations II (Kısmi Diferansiyel Denklemler II)
- Lineer Fonksiyonel Analiz: Fonksiyon Uzayları ve Linner Operatörler, Sobolev Daldırma Teoremleri
- Diferansiyel Hesap Yöntemleri: Fonksiyoneller Hesabı, Koşullu Optimizasyon, Banach Uzayları Arasında Tasvirler Hesabı
- Lineer Eliptik Teorisi: Tor Üzerinde Eliptik Operatörler, Maksimum İlkeleri, Çözülebilirlik
- Sabit Nokta Teoremleri: Scauder ve Brouwer Sabit Nokta Teoremleri ve Uygulamaları
- Lineer ve Lineer Olmayan Yayınım: Parabolik Maksimum İlkeleri, Yerel Varlık ve Regülerlik
- Lineer ve Lineer Olmayan Dalgalar: Simetrik Hiberbolik Sistemler, Lineer ve Yarı-lineer Dalga Dinamiği
Lie Groups and Lie Algebras (Lie Grupları ve Lie Cebirleri)
Grup tanımı, Temel Özelikleri, Homomorfizma ve İzomorfizmalar, Matris Lie grupları, Kompaktlık, Bağlantılılık, Lie Cebirleri ve Üstel Tasvir, Matris Logaritması, Matris Lie grubunun Lie Cebri, Lie Cebirleri, Baker-Campbell-Haussdorf Formülü, Altgruplar ve Altcebirler, Temel Temsil Teorisi
Harmonic Analysis I (Harmonik Analiz I)
Fourier Serileri: Lebesgue İntegrali, Karesi İntegrallenebilen Fonksiyonlar Uzayının Geometrisi, Çember Üzerinde Karesi İntegrallenebilen Fonksiyonlar ve Fourier Serileri,
İntegrallenebilen Fonksiyonlar ve Fourier Serileri, Çeşitli Uygulamalar, 1-Boyutlu Matematiksel Fiziğin Kısmi Türevli Diferansiyel Denklemlerine Uygulamalar, Çok Boyutlu Fourier Serileri.
Fourier İntegralleri: Fourier İntegralleri, Karesi İntegrallenebilen Fonksiyonların Fourier İntegralleri, İntegrallenebilen Fonksiyonların Fourier İntegralleri, Çeşitli Uygulamalar, Çok Boyutlu Fourier İntegralleri, Çok Boyutlu Fourier İntegrallerinin Çeşitli Uygulamaları.
Uzmanlık Alan Dersi
Danışmanın yönetimindeki tez seviyesinde olan tüm doktora öğrencilerinin çalışma konularının ve bu konulardaki yeni gelişmelerin değerlendirilmesi.
Harmonic Analysis II (Harmonik Analiz II)
Gerçek Değişkenli Teori : Temel Varsayımlar, Örnekler, Örtüş Lemaları ve Maksimal
Fonksiyon, Calderon-Zygmund Ayrıştırmasının Genelleştirilmesi, Singüler İntegraller,
Genel Teorinin Örnekleri, Kesik Singüler İntegraller, İlave Örnekler.
Fourier İntegralleri and Kompleks Fonksiyon Teorisi : Hardy Teoremi, Paley-Wiener Teoremi.
Ölçü ve Dağılım Teorisi : Dağılım Tanımı, Dağılımların Diferansiyellenmesi, Dağılımların Fourier Dönüşümleri, Dağılımların Konvolüsyonu.
Harmonik Fonkiyonların Sınır Değerleri : Harmonik Fonkiyonların Temel Özellikleri,
Poisson İntegrallerinin Karakterizasyonu, Hardy-Littlewood Maksimal Fonksiyonu ve
Harmonik Fonksiyonların Teğetsel Olmayan Yakınsaklığı, Altharmonik Fonksiyonlar ve Harmonik Fonksiyonlarla Sınırlandırılması, İlave Sonuçlar.
Dalgacıklar.
Matematiksel Optimal Kontrol Teorisi II
Giriş. Bir ve çok parametreli optimal prosesler, uygulamalı örnekler, maksimal kalkış problemi. Optimal kontrol probleminin varyasyon hesabı problemlerinden temel farkları. Adi diferansiyel denklemler sistemi için Pontryagin’in maksimum prensibi metodu. Ekonomide sürekli optimal yatırım problemleri ve uygulamalar. Global extremum metodları. Genişletilmiş maksimum prensibi metodu. Lagrange formalizmi ve uygulamalar. Hamilton – Jakobi – Bellman tipli denklemler. Lineer optimal regulator problemi, Riccati matris denklemi ve optimal düzenleyiciler. Çok parametreli diskret sistemler. Kısmi türevli denklemlerle ifade edilen optimal prosesler. Bazı kimyasal reaktörler için uygulamalar. Isı iletimi ve difüzyon ile ilişkili olan optimal prosesler. Titreşim proseslerinde optimal kontrol. Kontrol teorisinin temel problemi. Kontrol edilebilir bölgeler. Tam kontrol edilebilir sistemler. Kalman teoremi.
Sayısal Analiz II
Spektral metodlar, Galerkin ve kollokasyon metodları, Fourier, Chebysev ve Legendre yaklaşımları, Spektral metodların doğruluk, stabilite ve yakınsaması, Fourier spektral metodları, Chebysev spektral metodları, Zamanda integrasyon teknikleri, Kısmi diferansiyel denklemlere uygulamalar, Hiperbolik problemler için sayısal sonuçlar, Parabolic problemler için sayısal sonuçlar.
Differential Equations II ( Diferansiyel Denklemler II )
Diferansiyel Denklemlerin Bilgisayar Cebir Paketleri Kullanılarak İntegrasyonu, Runge Kutta İntegrasyonu, Bölge Kontrollu Runge-Kutta,, Doğrultu Alanları, Faz Portreleri, Limit Çevrimler, Interpolasyon Fonksiyonları, Doğrusal Kararlılık, Denge Noktalarının Bulunması ve yörünge yakalama, Bendixson ve Dulac Testleri, İki boyutta Liapunov Fonksiyonları, Zorlanmış Sistemler İçin Poincaré Haritaları , Otonom Sistemler İçin Poincaré haritaları.
Algebraic Topology (Cebirsel Topoloji)
Yollar, yol bağlantılı, ve yerel olarak yol bağlantılı topolojik uzaylar, Homotopy, homotopi eşdeğerliği, retrakt, deformasyon retraksiyonu. Temel grup: tanım, sürekli dönüşümlerin etkisi, çemberin, çarpım uzaylarının temel grubu. Serbest gruplar, Seifert-Van Kampen teoremi ve uygulamalar. Örtü uzayları, yolların örtü uzayına yükseltilmesi, örtü uzayı dönüşümleri. Homoloji teorisinin temel kavramları: simplisiyal kompleksler, singüler homoloji grupları, kompakt yüzeylerin homoloji grupları. Temel grup ve birinci homoloji grubu arasındaki ilişki.
Ring Theory (Halka Teorisi)
Halkalar ve idealler, Sıfır ve Jacobson radikalleri, Modüller, Modüllerin tensor çarpımları, Tam diziler, Lokalizasyon, Integral bağımlılık, Noether ve Artin Halkaları, Dedekind tamlık bölgeleri, Modüllerin tamlanması.
Algebra II (Cebir II)
Cisim genişlemeleri, Cisim genişlemelerinin boyutları, Normal cisim genişlemeleri, Galois teorisi, Galois teorisinin uygulamaları, Polinom eşitliklerinin radikal çözümleri.
Differential Geometry II (Diferansiyel Geometri II)
Tensör alanları, dış türev ve diferansiyel formlar. Konneksiyonlar. Riemann metriği, Riemann manifoldu, kovaryant türev, eğrilik tensörleri. Kesitsel eğrilik, skaler eğrilik, Ricci eğriliği, paralel kayma, jeodezikler, normal koordinatlar. Uzay formları. Riemann metriğinin konform değişimi. Riemann alt manifoldları, indirgenmiş konneksiyon, ikinci esas form. Gauss, Codazzi ve Ricci denklemleri. Cartan yapı denklemleri.
Operatörler Teorisi
Normlu uzaylar. Banach ve Hilbert uzayları. Hölder, Minkowski ve Young eşitsizlikleri. Sınırlı operatörler ve operatör normu. Ters operatörler . Sağ , sol ters kavramları ve tersinir operatörler. Neumann serileri. Diferensiyel operatörler . Fredholm ve Volterra operatörleri. Sınırlı ve sınırsız fonksiyoneller. Hahn- Banach teoremi ve sonuçları. Eşlenik uzaylar ve eşlenik operatörler. Operatörler uzayında yakınsaklık kavramları . Duzgün sınırlılık ilkesi. Kapalı operatörler. Kapalı çizit teoremi. Spektrum ve regüler nokta kavramları. Spektrumun sınıflandırılması. Bazı integral ve diferensiyel operatörlerin spektrumunun hesaplanması. Kompakt , simetrik, kendine eş, izometrik , üniter ve normal operatörler. Cayley dönüşümü. Kompakt ve kendine eş operatörlerin spektral açılımı. Spektral ölçü ve spektral açılım teoremleri. Spectral teorinin uygulamalari
Number Theory (Sayı Teorisi)
Denklikler, Gaus toplamları, p-Adik sayılar, Kuadratik formlar, Bölünebilirlik teorisi, Bölenler, Valuasyonlar, Kuadratik cisimler.
Introduction to the Lie Group Analysis of Differential Equations (Diferansiyel Denklemlerin Lie Grubu Analizine Giriş)
1) Diferansiyel Denklemlerin Lie Teorisi.
Bir Parametreli Dönüşüm Grupları, İkinci Basamaktan Adi Diferensiyel Denklemlerin İntegrasyonu, İnvaryant Çözümler.
2) Genelleştirmeler
Lie-Backlund Dönüşüm Grupları, Noether Tipi Korunum Teoremleri, Nonlocal Simetri Üreticilerinin Backlund Dönüşümleri Yardımıyla bulunması.
Uzmanlık Alan Dersi
Danışmanın yönetimindeki tez seviyesinde olan tüm doktora öğrencilerinin çalışma konularının ve bu konulardaki yeni gelişmelerin değerlendirilmesi.
