Program tanımları
MATEMATİK YÜKSEK LİSANS PROGRAMI
Programın Amacı
Matematik lisansüstü çalışmalarının temel amacı, matematik ve uygulamalı bilimlerin değişik alanlarındaki araştırmalarda görev alacak araştırmacıları yetiştirmek ve bunun için gerekli akademik bilgi ve becerileri kazandırmaktır. Bu programa katılan öğrencileri, bilimsel yayınları takip edebilecek seviyeye getirmek ve kendi başına bilimsel etkinliklerde bulunabilecek kazanımları vermektir.
Programın Dili : Türkçe
Bilimsel Hazırlık Program Gerektiren Bilim Alan ve Dalları
Matematik lisanstan farklı bilim dallarından mezun olmuş öğrenciler, fark derslerini Bilimsel Hazırlık Programı’ndan alırlar. Bilimsel Hazırlık Programı’ndan 3 den fazla ders alma gereksinimi olanlar Bilimsel Hazırlık Programına katılmak zorundadır. Bilimsel Hazırlık Programında 2 yarıyılda toplam 30 kredi saatinden fazlasını gerektiren dallardan mezun olmuş öğrenciler lisansüstü programına alınmazlar.
DERS İÇERİKLERİ
SOYUT UZAYLAR
Metrik Uzaylar. Giriş. Yakınsaklık ve Tamlık. Altuzaylar. Baire Kategori Teoremi. Topolojik Uzaylar. Taban Kavramı ve Sayılabilirlik. Ayırma Aksiyomları. Çarpım Uzayları. Bağlantılılık. Kompakt Uzaylar. Banach Uzayları.
KOMPLEKS ANALİZ I
Weierstrass Teoremi. Basit Kesirler. Sonsuz Çarpımlar. Kanonik Çarpımlar. Gamma Fonksiyonu. Stirling Formülü. Tam Fonksiyonlar. Jensen Formülü. Hadamard Teoremi. Normal Aileler. Riemann Tasvir Teoremi.
İLERİ FONKSİYONEL ANALİZ I
Sonlu Boyutlu Uzaylar. Fonksiyon Uzayları. Sürekli Lineer Operatörler. Sonlu Boyutlu Uzaylarda Lineer Operatörler ve Fonksiyoneller. Hahn-Banach ve Açık Tasvir Teoremi. Kapalı Lineer Operatörler. Kapalı Grafik ve Baire Teoremlerinin Sonuçları.
ÖZEL FONKSİYONLAR
Bessel Fonksiyonları. Legendre Polinomları. Laguerre Polinomları. Hipergeometrik Fonksiyonlar. Gegenbauer Polinomları. Hermit Polinomları.
DEĞİŞMELİ CEBİR I
Halkalar ve Homomorfizmalar, İdealler. Esas İdeal Bölgeleri. Tek Türlü Çarpanlara Ayrılabilen Bölgeler. Euclid Bölgeleri. Bölüm Halkaları ve Lokalizasyon. Polinom Halkaları ve Üstel Seriler. Polinom Halkalarında Çarpanlara Ayrılış.
HALKA VE MODÜL TEORİSİ I
Halkalar, Alt Halkalar, İdealler, Tamlık Bölgeleri, Cisimler, Maksimal, Asal ve Asalımsı İdealler. İzomorfizma Teoremleri. Bir Halkanın Jakobson ve Asal Radikali. Halkaların Direkt Toplamı. Noetherian ve Artinian Halkalar. Yarı Basit Halkalar. Kesir Halkaları. Modüller ve Altmodüller. Kısa Diziler.
İLERİ TOPOLOJİ I
Kardinal ve Ordinal Sayılar. Uzay ve Fonksiyon Kavramının Genelleştirilmesi. Riemann Yüzeyi Kavramı. Yapıştırma Metodları. Düğümler Üzerine. Topolojik Uzaylar. Topoloji ve Metrik Uzayların Sürekli Tasviri. rn, Sn–1 ve Dm Uzayları. Bölüm Uzayı ve Bölüm Topolojisi. Yüzeylerin Sınıflandırılması.
YALINKAT FONKSİYONLAR TEORİSİ I
Yalınkat Fonksiyonların Tanımı ve Elemanter Özellikleri. Bazı Alan Teoremleri. Katsayılar için Elemanter Sınırlar. Kuvvet Serileri Üzerine Bazı Teoremler. Bazı Özel Sınıflar.
LİNEER OPERATÖR TEORİSİ
Lineer Uzaylar. Ortagonalizasyon. Lineer Operatörler. Adjoint Operator. Genelleştirilmiş Özvektörler. Sonlu Boyutlu Uzaylarda Operatörün Kanonik Formu. Adjoint Operatörün Özdeğerleri. Hermitian Matrisler. Spektral Gösterim.
İLERİ DİFERANSİYEL GEOMETRİ I
Yüzey Üzerinde Hesap. Şekil Operatörü. Yüzeylerin İntrinsic Geometrisi. İntegrasyon ve Yönlendirme.
KLASİK CEBİRLER
A n , B n , C n , D n Cebirlerinin; Kök Sistemleri, Basit ve Bileşik Kökler, Kök Uzay Ayrışımı. Dynkin Diyagramı. Ağırlıklar. Baskın Ağırlıklar. Esas Baskın Ağırlıklar. Temel Ağırlıklar. Klasik Cebirlerin Temsillerinin Elde Edilmesi. Klasik Cebirlerin Karakteristik Denklemi.
CİSİMLER VE GALOİS TEORİSİ
Cisim Genişlemeleri. Bir Polinomun Parçalanış Cismi. Galois Grubu. Radikallerle Çözülebilme Kriteri. Sonlu Cisimler.
İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLERİ I
Giriş. Fourier Dönüşümleri. Laplace Dönüşümleri. Milin Dönüşümleri.
KUANTUM ANALİZ I
q- Diferansiyel ve h- Diferansiyel, q-Türev ve h-Türev. Bazı Elemanter Fonksiyonların q-Türevleri. q- Binom Katsayıları. q- Taylor Polinomu ve q- Taylor Serisi. q- Üstel ve q-Trigonometrik Fonksiyonlar. Üçgen Sayılar, Kare Sayılar ve Jacobi Üçlü Çarpımı. Heine Formülü. q-Hypergeometrik Fonksiyonlar.
KÜMELER TEORİSİNDEN KONULAR
Küme Aileleri, Sıralama Türleri, Seçme Aksiyomu ve Eşdeğerleri, Cantor-Bernstein Teoremi ve Uygulamaları, Ordinal Sayılar, Kardinal Sayılar, Özel Kardinal Sayılar.
GENEL TOPOLOJİDEN KONULAR I
Tabanlar, Alttabanlar, Sayılabilme Türleri, Ayrılabilir Uzaylar, Lindelöf Uzayları, Ayırma Türleri, Normallik Teoremleri, Tikhonov Uzayları, Topolojide İçdeğer Biçme, Eşyapılı Uzaylar.
KOMPLEKS ANALİZ II
Konform Tasvir. Rieman Tasvir Teoremi. Bölgelerin Konform Tasviri. Harmonik Fonksiyonlar. Dirichlet Problemi. Çok Bağlantılı Bölgelerin Konform Tasviri. Eliptik Fonksiyonlar. Analitik Devam.
İLERİ FONKSİYONEL ANALİZ II
Hilbert Uzayları. Hilbert Uzaylarında Fonksiyoneller. İki Değişkenli Lineer Dönüşümler. Banach Cebirleri.
İLERİ DİFERANSİYEL GEOMETRİ II
Riemann Geometrisine Giriş. Diferansiyellenebilir Manifoldlar. Riemann Metrikleri. Afin Konneksiyonlar. Riemann Konneksiyonları. Eğrilik. Jakobi Alanları. Sabit Eğrilikli Uzaylar.
DEĞİŞMELİ CEBİR II
Zincir Koşulları. Asal ve Primary İdealler. Primary Ayrışım. Noetherian Halkalar ve Modüller. Halka Genişlemeleri. Dedekind Bölgeleri. Basit ve İlkel Halkalar. Jakobson Radikali. Yarı Basit Halkalar.
AYRICALIKLI LİE CEBİRLERİ
E 8 , E 7 , E 6 , F 4 , G 2 Ayrıcalıklı Cebirleri. Kök Sistemlerinin İnşası. Dynkın Diyagramları Temel Temsilleri. Weyl Yörüngeleri. Ayrıcalıklı Cebirlerin Karakteristik Denklemleri.
HALKA VE MODÜL TEORİSİ II
Serbest Moduller, Projektif Modüller, İnjektif Modüller, Flat Modüller, Tensör Çarpım, Noetherian ve Artinian Modüller, Basit ve Yarıbasit Modüller, Asal ve Asalımsı Modüller.
İLERİ TOPOLOJİ II
Kompakt Uzaylar. Sayılabilir Kompakt, Parakompakt ve Metakompakt Uzaylar. Çarpım Uzayları. Ters Sistemlerin Limitleri. Bağlantılı Uzaylar ve Bağlantısızlığın Farklı Tipleri. Seçme Konular.
SOYUT ÖLÇÜ TEORİSİ
Ölçü ve Integrasyon. Ölçü ve Dış Ölçü. Danieli Entegrali. Ölçü ve Topoloji. Ölçü Uzaylarının Tasvirleri.
MEROMORFİK FONKSİYONLAR
Poisson - Jensen Formülü. Karakteristik Fonksiyonlar. Nevalina Teoremleri. Meromorf Fonksiyonların Mertebesi.
SINIRSIZ OPERATÖR TEORİSİ
Temel Kavram ve Teoremler. Özdeğer ve özfonksiyonların asimtotik yaklaşımları. Vektör fonksiyonları uzayında diferansiyel operatörler.
MODÜLLER TEORİSİ
Modüller. Homomorfizma ve Tam Diziler. Serbest Modüller ve Vektör Uzayları. Projectif ve İnjektif Modüller. Hom. ve Dualite. Tensör Çarpımlar.
TENSÖR CEBRİNDEN SEÇME KONULAR
Tensör Çarpımı. Vektör Uzaylarının Tensör Çarpımı. Tensör Cebrinde Simetri ve Ters Simetri. Dış Cebir. Karma Dış Cebir.
İNTEGRAL DÖNÜŞÜMLERİ II
Hankel Dönüşümleri. Kontorovich-Lebedev Dönüşümü. Mehler-Farth Dönüşümü. Sonlu Dönüşümler. Genelleştirilmiş Fonksiyonlar.
İNTEGRAL DENKLEMLER
Volterra Denklemleri. Fredholm Denklemleri. Simetrik Çekirdekler ve Fonksiyonların Ortogonal Sistemleri.
KUANTUM ANALİZ II
q- İntegral, q- Gamma ve q- Beta Fonksiyonları.
RIEMANN OLMAYAN GEOMETRİLER
Asimetrik Bağlantılar. Simetrik Bağlantılar. Yolların Projektif Geometrisi. Weyl Geometrisi
GENEL TOPOLOJİDEN KONULAR II
Metriklenebilir Uzaylar, Yantıkız Uzaylar, Örtülüş Özellikleri, Tıkızlık Türleri.
